층후

골(Trough)과 능(Ridge), 층후(Thickness)

위 그림을 등압면이라고 할 때, 등압면이 높은 곳은 지위고도가 높아 고기압이 있는 곳, 등압면이 낮은 곳은 지위고도가 낮아 저기압이 있는 곳이다. 층후란 서로 다른 두 등압면 사이의 두께를 의미한다.

 

층후와 기온의 관계

대기의 두께와 기온은 서로 밀접한 관계에 있다. 기온이 낮은 지역은 공기가 압축되어 밀도가 높고, 기온이 높은 지역은 그 반대이다. 공기의 무게는 압력을 의미하기 때문에 고밀도 지역은 고도가 상승할 때 기압이 빨리 떨어지고, 저밀도 지역은 고도가 상승할 때 기압이 상대적으로 덜 떨어진다. 따라서 기온이 높을수록 층후가 두껍다. 층후가 두꺼운 공기는 따뜻하다.

적도에서 북쪽으로 갈수록 기온이 하강하므로 층후도 감소한다. 이 때 바람은 고기압인 적도에서 저기압인 북극을 향하며 지구 자전에 의해 오른쪽으로 방향이 바뀐다. 바람의 크기는 하층에서 상층으로 갈수록 커진다. 이는 상층으로 갈수록 적도와 북극의 기압차가 커지기 때문이다. 이것을 연직 바람 시어(wind shear) 라고 한다. 이는 제트기류의 근본적인 원인이 된다. 또한 상층의 바람에서 하층의 바람을 뺀 것을(바람은 벡터이므로 벡터 연산을 의미한다) 온도풍(Thermal wind)라고 한다.

 

층후의 수학적 표현

층후란 서로 다른 두 등압면 사이의 두께를 의미한다. 따라서 층후를 계산하기 위해서는 두 등압면의 고도(지위고도) 차이를 계산해야 한다. 고도를 $z\;[\;m\;]$, 기압을 $p\;[\;hPa\;]$, 중력가속도를 $g\;[\;m^2 \; s^{-2}\;]$, 밀도를 $\rho \; [\; kg \; m^{-3}\;]$로 표기할 때 연직 방향 기압경도력과 중력은 아래와 같이 균형을 이룬다 (이것을 정역학 방정식이라고 한다).

$-\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dz} = g$

양변에 $dz$를 곱한다.

$-\frac{1}{\rho} dp = gdz$

이상기체 방정식을 대입한다.

$T$는 기온 $[\; K \;]$, $R$은 기체상수 $287\;J\;kg^{-1}\;K^{-1}$이다.

$p = \rho RT, \rho =\frac{p}{RT}$

$-\frac{RT}{p}dp = gdz$

$dz = -\frac{RT}{g}\frac{1}{p}dp$

하층에서 상층으로 ($z_1 ,\; p_1 \; \to \; z_2 ,\; p_2$) 적분한다.

$\int _{z_1}^{z_2} dz = -\frac{R}{g}\int _{p_1}^{p_2} T\frac{1}{p}dp$

$T$의 평균 $\overline{T}$을 계산한다.

$z_2 - z_1 = - \frac{R}{g}\overline{T}\int _{p_1}^{p_2} \frac{dp}{p}$

$H \equiv \frac{R\overline{T}}{g}$을 정의한다. 규모 고도(scale height)라고 하며 단위는 $m$이다.

$z_2 - z_1 = - H\int _{p_1}^{p_2} \frac{dp}{p} = H\int _{p_2}^{p_1} \frac{dp}{p}$

이를 쉽게 나타내면

$(층후) = H\int _{p_{상층}}^{p_{하층}} \frac{dp}{p}$