나비에-스토크스 방정식 2 : 유도

뉴턴 유체 : 유체에 작용하는 전단응력이 전간변형률에 선형 비례하는, 즉 균일한 점도를 가지는 유체.

 

뉴턴 유체의 1차원 유동에 대한 전단응력 $\tau$와 전단변형률 $\frac{du}{dy}$사이의 선형관계는 다음과 같다.

 

$\tau = \mu \frac{du}{dy}$

 

이때 비례상수 $\mu$를 점도(viscosity)라고 한다.

(점도의 단위는 $Pa\;s = N\;s\;m^{-2} = kg\;m^{-1}\;s^{-1}$ 이다.)

 

3차원 유동에서 뉴턴유체의 전단응력과 전단변형률 사이의 관계식은 다음과 같다.

$\tau _{xy} = \tau _{yx} = \mu (\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y})$

$\tau _{yz} = \tau _{zy} = \mu (\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z})$

$\tau _{zx} = \tau _{xz} = \mu (\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x})$

$\sigma _{xx} = -p-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}+2\mu \frac{\partial u}{\partial x}$

$\sigma _{yy} = -p-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}+2\mu \frac{\partial v}{\partial y}$

$\sigma _{zz} = -p-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}+2\mu \frac{\partial w}{\partial z}$

$\sigma $ : 수직응력

$\tau $ : 전단응력

$p$ : local thermodynamic pressure

 

이것을 이전 포스팅에서 유도한 운동량 방정식에 대입한다.

$\rho g_x + \frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z} = \rho (\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z})$

$\to\; \rho g_x + \frac{\partial}{\partial x}[-p-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}+2\mu\frac{\partial u}{\partial x}] + \frac{\partial}{\partial y}[\mu(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})] + \frac{\partial }{\partial z}[\mu(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})] $

$= \rho (\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z})$

 

$\rho g_y + \frac{\partial \tau _{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma _{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zy}}{\partial z} = \rho (\frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z})$

$\to\; \rho g_y + \frac{\partial}{\partial x}[\mu(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})] + \frac{\partial}{\partial y}[-p-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}+2\mu\frac{\partial v}{\partial y}] + \frac{\partial }{\partial z}[\mu (\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})] $

$= \rho (\frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z})$

 

$\rho g_z + \frac{\partial \tau _{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau _{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma _{zz}}{\partial z} = \rho (\frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z})$

$\to\; \rho g_z + \frac{\partial}{\partial x}[\mu(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})] + \frac{\partial}{\partial y}[\mu(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z})] + \frac{\partial }{\partial z}[-p-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}+2\mu\frac{\partial w}{\partial z}] $

$= \rho (\frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z})$

 

위의 운동방정식을 나비에-스토크스 방정식 이라고 한다. 각 항의 의미는 다음과 같다.

$\rho g_x -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x}(2\mu\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v}) + \frac{\partial}{\partial y}[\mu(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})] + \frac{\partial}{\partial z}[\mu(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z})]$

$=\rho \frac{\partial u}{\partial t} + \rho (\vec{v}\cdot\nabla)u$

 

$\rho g_x$ : 체적력(중력)

$-\frac{\partial p}{\partial x}$ : 표면력(압력)

$\frac{\partial}{\partial x}(2\mu\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{2}{3}\mu\nabla\cdot\vec{v})$ : 표면력(수직응력)

$\frac{\partial}{\partial y}[\mu(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})]$ : 표면력(전단응력)

$\frac{\partial}{\partial z}[\mu(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z})]$ : 표면력(전단응력)

$\rho \frac{\partial u}{\partial t}$ : 국소가속도

$\rho (\vec{v}\cdot\nabla)u$ : 대류가속도