나비에-스토크스 방정식 1 : 운동량 방정식

뉴턴의 제2법칙.

$\vec{F} = m\vec{a}$

$\vec{F}$ : 힘

$\vec{a}$ : 가속도

힘과 가속도의 관계를 설명한다. 

 

매우 작은 유체입자를 고려한다. 질량의 크기를 $dm$ 이라고 한다. 이 유체가 외부에서 힘을 받아 움직인다면 그 힘의 변화량은 다음과 같다.

$d\vec{F} = dm \frac{D\vec{v}}{Dt}$

(움직이는 유체입자를 고려하므로 물질 미분을 적용한다)

유체 입자에 작용하는 힘은 유체 전체에 작용하는 중력 등 체적력(body forces)과  유체 표면에 작용하는 압력, 응력 등의 표면력(surface force)으로 나뉜다. 유체입자 중심에서의 표면력(응력)은 다음과 같다. 

$\sigma_{xx} $ : 수직응력

$\tau_{yx}, \tau_{zx}$ : 전단응력

$x$ 축 방향으로 작용하는 표면력을 구하기 위해서는 $x$ 축 방향의 힘을 모두 합해야 한다.

$d \vec{F} _{surface, x} = (\sigma _{xx} + \frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2})dydz - (\sigma _{xx} - \frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2})dydz$ 

$+(\tau _{yx} + \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y}\frac{dy}{2})dxdz - (\tau _{yx} - \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y}\frac{dy}{2})dxdz$

$+(\tau _{zx} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \frac{dz}{2})dxdy - (\tau _{zx} - \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \frac{dz}{2})dxdy$

 

$d \vec{F} _{surface, x} = (\frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial z} + \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z})dxdydz$

 

유일한 체적력인 중력을 반영하면 $x$축 방향의 유효한 힘은 다음과 같다.

$d \vec{F} _x = d \vec{F} _{body, x} + d \vec{F} _{surface, x}$

$=(\rho g_x dxdydz) + (\frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial z} + \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z})dxdydz$

$= (\rho g_x + \frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial z} + \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z})dxdydz$

 

같은 방법으로 y축, z축 방향으로 유체입자에 작용하는 힘을 구할 수 있다.

$d \vec{F} _x = (\rho g_x + \frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z})dxdydz$

$d \vec{F} _y = (\rho g_y + \frac{\partial \tau _{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma _{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zy}}{\partial z})dxdydz$

$d \vec{F} _z = (\rho g_z + \frac{\partial \tau _{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau _{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma _{zz}}{\partial z})dxdydz$

 

뉴턴의 제 2법칙

$d\vec{F} = dm \frac{D\vec{v}}{D t}$

미소질량 $dm$을 밀도 $\rho$를 이용해 표현하면 $dm = \rho\;dx\;dy\;dz$이므로

$d\vec{F} = \rho \frac{D\vec{v}}{Dt}\;dx\;dy\;dx$

$x$축에 작용하는 힘만 고려할 때

$(\rho g_x + \frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z})dxdydz = \rho \frac{D\vec{v}}{Dt}dxdydx$

$\rho g_x + \frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z} = \rho \frac{D\vec{v}}{Dt}$

$\rho g_x + \frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z} = \rho (\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z})$

 

같은 방법으로 y, z 축에 대한 식을 구할 수 있다.

$\rho g_x + \frac{\partial \sigma _{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau _{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z} = \rho (\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z})$

$\rho g_y + \frac{\partial \tau _{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma _{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau _{zy}}{\partial z} = \rho (\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z})$

$\rho g_z + \frac{\partial \tau _{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau _{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma _{zz}}{\partial z} = \rho (\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z})$

 

위 식을 유체의 연속성 가정을 만족하는 미분형 운동방정식 이라고 한다.