등압좌표계의 운동량 방정식, 연속방정식, 열역학 방정식

등압좌표계의 운동량 방정식

고도좌표계의 운동량 방정식은 다음과 같다.

$\frac{du}{dt} = fv - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}$

$\frac{dv}{dt} = -fu - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}$

벡터 형태로 변환한다.

$\frac{d\vec{V}}{dt} = -f\hat{k}\times\vec{V}-\frac{1}{\rho}\nabla p$

고도좌표계를 기압좌표계로 전환한다. 고도좌표계와 기압좌표계의 기압경도력은 아래와 같은 관계에 있다.

$-\frac{1}{\rho}\nabla _z p = -\nabla _p \Phi$ 이것을 위의 식에 대입하면

$\frac{d\vec{V}}{dt} = -f\hat{k}\times\vec{V}-\nabla _p \Phi$

 

등압좌표계의 지균풍

$u_g = -\frac{1}{\rho f} \frac{\partial p}{\partial y}$

$v_g = \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}$

이것을 벡터 형태로 나타내면

$\vec{V} _g = \hat{k} \times \frac{1}{\rho f}\nabla _z p$

고도좌표계를 기압좌표계로 전환한다. 고도좌표계와 기압좌표계의 기압경도력은 아래와 같은 관계에 있다.

$-\frac{1}{\rho}\nabla _z p = -\nabla _p \Phi$ 이것을 위의 식에 대입하면

$\vec{V} _g = \hat{k} \times \frac{1}{f}\nabla _p \Phi$

등압좌표계의 지균풍은 밀도가 없으며 비압축성을 가정하지 않아도 발산이 0이 된다. 즉, 등압좌표계에서의 흐름은 비발산 흐름이다.

 

등압좌표계의 연속방정식

라그랑지안 방법

등압좌표계에서 유체와 함께 움직이는 공기를 가정한다.

$\delta M = \rho \delta V = \rho \delta x \delta y \delta z$에서

정역학 방정식에 의해 $\delta p = -\rho g dz \to \rho\delta z = -\frac{1}{g}\delta p$이므로

$\delta M = \rho \delta V = \rho \delta x \delta y \delta z = -\frac{1}{g}\delta x \delta y \delta p$

여기서 $\delta M,\; \delta V$는 각각 유체의 질량과 부피를 의미한다.

질량은 유체의 흐름에 따라 보존된다.

$\frac{1}{\delta M} = \frac{d}{dt}(\delta M) = 0$

$\frac{1}{-\frac{1}{g}\delta x \delta y \delta p} = \frac{d}{dt}(-\frac{1}{g}\delta x \delta y \delta p) = 0$

$\frac{1}{\delta x \delta y \delta p} = \frac{d}{dt}(\delta x \delta y \delta p) = 0$

$\frac{1}{\delta x \delta y \delta p} (\delta y \delta p \frac{d}{dt}\delta x + \delta x \delta p \frac{d}{dt}\delta y + \delta x \delta y \frac{d}{dt}\delta p ) = 0$

$\frac{1}{\delta x}\frac{d}{dt}(\delta x) + \frac{1}{\delta y}\frac{d}{dt}(\delta y) + \frac{1}{\delta p}\frac{d}{dt}(\delta p) = 0 \cdots (1)$

$\to \delta u = \frac{d}{dt}\delta x, \; \delta v = \frac{d}{dt}\delta y, \; \delta \omega = \frac{d}{dt}\delta p$

$u_A = \frac{dx}{dt}$

$u_B = \frac{d(x+\delta x)}{dt}$

$\delta u = u_B - u_A = \frac{d(x+\delta x)}{dt}-\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\delta x)$

같은 방법으로 $\delta v = \frac{d}{dt}(\delta y), \delta \omega = \frac{d}{dt}(\delta p)$을 식(1)에 대입한다.

$\frac{\delta u}{\delta x}+\frac{\delta v}{\delta y}+\frac{\delta \omega}{\delta p}=0$

$\delta x, \delta y ,\delta p \to 0$

$\therefore \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial \omega}{\partial p}=0$

등압좌표계의 연속방정식과 고도좌표계의 연속방정식은 다음과 같다.

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial \omega}{\partial p}=0$

$\frac{\partial \rho}{partial t}=-\nabla (\rho \vec{V})$

등압좌표계의 연속방정식은 밀도가 없다.

등압좌표계의 연속방정식은 어느 곳에 공기가 모이면 ($\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} < 0$) 상승운동이 발생하고 ($\frac{\partial \omega}{\partial p} > 0$), 공기가 흩어지면 ($\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} > 0$) 하강운동이 발생한다($\frac{\partial \omega}{\partial p} < 0$)는 사실을 의미한다.

등압좌표계의 지균풍

$c_p \frac{dT}{dt} - \alpha \frac{dp}{dt} = J$

양변을 $c_p$로 나누면 $\frac{dT}{dt}-\frac{\alpha}{c_p} \frac{dp}{dt} = \frac{J}{c_p}$

$\frac{dp}{dt} = \omega$ 이므로 $\frac{dT}{dt}-\frac{\alpha}{c_p}\omega = \frac{J}{c_p}$

라그랑지 변화율을 오일러 변화율로 나타내면

$\frac{\partial T}{\partial t} + u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}+\omega \frac{\partial T}{\partial p} - \frac{\alpha}{c_p}\omega = \frac{J}{c_p}$

$\frac{\partial T}{\partial t} + u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}-(\frac{\alpha}{c_p} - \frac{\partial T}{\partial p} )\omega = \frac{J}{c_p}$

$\frac{\partial T}{\partial t} + u\frac{\partial T}{\partial x}+v\frac{\partial T}{\partial y}-S_p\omega = \frac{J}{c_p}\; ; \; S_p = \frac{\alpha}{c_p} - \frac{\partial T}{\partial p } = -\frac{T}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial p } = \frac{\Gamma _d \Gamma}{\rho g}$