대기 기본 방정식

대기 운동에 작용하는 힘

- 기압경도력

- 중력

- 전향력

- 마찰력

 

대기운동의 물리법칙

- 운동량 보존법칙(운동방정식)

- 질량 보존법칙(연속방정식)

- 에너지 보존법칙(열역학 방정식)

 

회전좌표계 운동방정식

$\frac{Du}{Dt}-\frac{uv \tan \phi}{a} + \frac{uw}{a} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} + 2\Omega v \sin \phi + F_{rx}$

$\frac{Dv}{Dt}-\frac{u^2 \tan \phi}{a} + \frac{vw}{a} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} - 2\Omega v \sin \phi + F_{ry}$

$\frac{Dw}{Dt}-\frac{u^2 + v^2}{a} = -\frac{\partial p}{\partial z} + 2\Omega u \cos \phi + F_{rz}$

여기서 a는 지구 반지름 (637,000 m)이며 $\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y} + w\frac{\partial}{\partial z}$이다.

 

유체의 질량보존 법칙

- 연속방정식

* 유체의 질량보존을 표현하는 수학적 관계식

* 측면을 통한 질량유입의 순비율은 체적 속에 축적되는 비율과 같아야 함.

* 질량은 밀도와 체적(부피)의 곱과 같음.

$\delta m = \rho \delta V =\rho \delta x \delta y \delta z$

* 유도과정

좌측면을 통한 질량 유입 비율

$u_A = (\rho u)_0 - \frac{\partial (\rho u)}{\partial x​}\frac{\delta x}{2}$

우측면을 통한 질량 유출 비율

$u_B = (\rho u)_0 + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x​}\frac{\delta x}{2}$

($x축 이동거리에 대한 변화율 \times x축 이동거리$)

 

x방향 속도성분에 의하여 체적으로 유입되는 질량의 순 비율

$=u_A - u_B ; 유입 - 유출$

$=[(\rho u)_0 - \frac{\partial (\rho u)}{\partial x}]\delta y \delta z - [(\rho u)_0 + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x}]\delta y \delta z$

$= -\frac{\partial}{\partial x} (\rho u)\delta x \delta y \delta z$

 

y, z 방향을 모두 고려하면 총 질량유입의 순 비율은 다음과 같다.

$-[\frac{\partial}{\partial x} (\rho u) + \frac{\partial}{\partial x} (\rho v) + \frac{\partial}{\partial x} (\rho w)]\delta x \delta y \delta z$

단위 체적 당 질량 유입 (부피 $\delta x \delta y \delta z$로 나눈다)

$= -[\frac{\partial}{\partial x}(\rho u) + \frac{\partial}{\partial y} (\rho v) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho w)]=-\nabla \cdot (\rho \vec{V})$

단위 체적 당 질량 유입 = 국지적 밀도 변화

$\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot (\rho \vec{V})$

$\frac{1}{\rho}\frac{D\rho}{Dt}=-\nabla \cdot \vec{V} $

 

운동하는 유체에 적용되는 에너지 보존 법칙

- 열역학 제1법칙 : 시스템에 열이 유입되면 시스템의 온도가 증가하기도 하고, 주변에 일을 하기도 한다.

$H = \Delta E + W$

* 내부에너지 : $E = c_v T$

* 열 에너지   : $H$

* 일             : $W = F\cdot s [ N m ], F = 힘, s = 이동거리$

 

- 유체가 주변에 대해 한 일

$\delta W = (p\delta s)\cdot \delta n = p \delta V$

* p : 주변 압력

* $\delta n$ : 팽창 거리

* $\delta s$ : 유체의 겉넓이

* $\delta V$ : 체적 변화량

 

- 열역학적 에너지 방정식

$dQ = c_v dT + pdV$

 

- 열역학적 에너지 방정식

$c_v \frac{DT}{Dt} + p \frac{D \alpha}{D t} = J$

* $c_v$ : 정적 비율, $717 J\; kg^{-1} \; K^{-1}$

* $J$ : 복사, 열전도, 잠열 방출 등에 의한 단위 질량 당 가열율