Radiation2

7. 산란/흡수/방출의 물리학

태양복사 및 지구복사의 감소는 산란과 흡수에 의해 발생한다. 이들은 다음에 비례한다 :

1. 복사 전달 경로 방향의 복사 강도

2. 기체와 입자의 국지적 밀도

3. 흡수체와 산란체의 작용

 

광선이 투과하는 거리는 $ds = dz/\cos \theta = dz\sec\theta$이다. 광선이 만나는 개별 기체 분자와 입자에 있어서, 단색(monochromatic) 복사 강도(Intensity)는 다음과 같이 감소한다.

$dI_\lambda=I_\lambda K_\lambda N\sigma ds \cdots (16)$

여기서 $N$은 공기의 단위 부피당 입자 수, $\sigma$는 각 입자의 단면, $K_\lambda$는 산란 혹은 흡수 계수를 의미한다. 대기를 구성하는 기체의 경우 산란과 흡수율을 다음의 형태로 나타내는 것이 편리하다.

$dI_\lambda = I_\lambda \rho r k_\lambda ds \cdots(17)$

여기서 $\rho$는 공기의 밀도, $r$은 공기의 단위 질량 당 흡수 기체의 질량, $k_\lambda$는 질량 흡수 계수($m^2 kg^{-1}$)를 의미한다. 다양한 종류의 기체와 입자의 영향이 $K_\lambda N \sigma = K_{\lambda 1} N_1 \sigma _1 + K_{\lambda 2} N_2 \sigma _2$에 반영된다. 산란과 흡수의 영향은 $K_\lambda (ext) = K_\lambda (scatt)+K_\lambda (abs)$으로 나타낸다.

 

7a. 비어의 법칙(Beer's Law)

$dI_\lambda$를 TOA부터 임의의 고도 $z$ 까지 적분할 경우 입사된 복사가 흡수와 산란에 의해 감쇠된 비율을 알 수 있다. 

$\ln I_{\lambda \infty} - \ln I_{\lambda} = \sec \theta \int _z^{\infty} \rho r k_\lambda dz \cdots (18)$

로그를 제거하면

$I_\lambda = I_{\lambda \infty} e^{-\tau _\lambda \sec \theta}=I_{\lambda \infty}T_\lambda \cdots(19)$

$\tau _\lambda = \int _z ^\infty \rho r k_\lambda dz$이고 $T_\lambda$는 기층의 투과성을 의미한다. 이러한 관계식들을 모아서 비어의 법칙이라고 한다. 이것은 단색 복사 강도 $I_\lambda$가 투과한 거리에 따라 단조적으로 감소한다는 사실을 의미한다. $\tau _\lambda$는 직각 광학 깊이이다. 산란이 없을 경우 $\alpha _\lambda = 1 - T_\lambda$는 광학 깊이가 증가할수록 성립한다.

 

7b. 슈바르츠실트 방정식 (Schwarzschild’s Equation)

​이 단락에서는 산란이 없을 때 적외선 복사의 흡수와 방출을 계산할 것이다. 이러한 단순화된 취급은 적외선의 파장이 매우 길어서 대기에 의해 산란되기 어렵기 때문에 가능하다. 지면에서 방출되 밖으로 나가는 단색 복사 강도의 변화율은 다음과 같다 :

$dI_\lambda (absorption) = - I_\lambda​ \rho r k_\lambda ds = - I_\lambda \alpha _\lambda\cdots (20)$

여기서 $\alpha _\lambda$는 층의 흡수율이다. (복사 방출에 의한) 상응하는 변화율은 다음과 같다.

 

$dI_\lambda (emission) = B_\lambda (T)\epsilon_\lambda \cdots (21)$

 

키르히호프의 법칙을 불러오고 두 표현을 더해서 아래와 같은 슈바르츠실트 방정식을 얻을 수 있다.

 

$dI_\lambda (emission) = -(I_\lambda -B_\lambda (T))k_\lambda \rho rds \cdots (22)$

 

슈바르츠실트 방정식은 광선의 경로를 따라 적분($1\to s_1$)해 얻을 수 있다. 솔루션에는 $s = 0$에서 단색 복사 강도를 나타내는 항이 포함되며, 이는 경로를 따라 감소하면서 $s1$에 도달한다. 또한 그 경로를 따라 기체가 방출한 단색 복사 강도를 나타내는 항을 가지고 있다. 이 방정식의 해는 대기의 열적외선이 연직 온도 프로파일과 대기의 적외선 투과성에 따라 어떻게 변하는지 보여준다.