Radiation 1

1. 복사 전달

지구 대기 시스템과 나머지 우주 간 에너지 교환은 복사 전달을 통해 발생한다. 지구와 대기는 끊임없이 태양 복사를 흡수하고 자신의 복사를 우주로 방출한다. 장기간에 걸쳐 흡수 및 방출하는 비율은 거의 똑같아진다. 그래서 지구 대기 시스템은 태양과 거의 평형을 이룬다.

또한 복사 전달은 대기와 그 아래의 지면 사이의 에너지 교환 메커니즘을 수행한다. 대기의 여러 층 사이에 대해서도 그러하다. 복사 전달은 상층 대기의 화학 작용과 광화학 스모그 형성에 중요한 역할을 한다. 가시광선의 전파 특성은은 하늘의 가시성, 색깔과 구름의 모습을 결정한다. 지구와 대기에 의해 방출되고 위성에 포착된 복사는 대기 기온 구조, 수증기량, 오존 등 기체를 추적하는 원격탐사의 기초가 된다.

 

2. 복사의 스펙트럼

전자기 복사는 빛의 속도(진공 상태에서 $c^*=2.998\times 10^8 m/s$)로 전파되는 파동의 앙상블로 보일 것이다. 복사를 다음과 같이 특정지을 수 있다.

주파수 (frequency) : $\nu =c^*/\lambda$

파장(wavelength) : $\lambda = c^*/\nu$

대기의 복사 전달은 파장과 주파수의 연속체(continuum)인 파동의 앙상블을 포함한다. 이들을 밴드로 나눈다 : 단파 (shortwave, $\lambda < 4\mu m$)는 태양 복사와 관련된 대부분의 에너지를 운반한다. 장파(longwave $\lambda > 4\mu m$)는 지면에서 방출된 복사를 대부분 포함한다. 가시 영역 $0.39-0.79 \mu m$은 인간의 눈이 탐지가능한 구역을 의미한다. 가시광선 하위 영역은 색으로 볼 수 있다.

 

3. 정의

입체각(Solid angle, $\omega$)

구의 중심에 꼭지점을 두고 있는 콘 모양을 가정한다. 입체각은 구의 면적과 콘 모양에 의해 잘려나간 면적의 비율로 정한다. 

$\omega = \frac{A}{r^2}\cdots$ (1)

$d\omega = \frac{dA}{r^2}\cdots$ (2)

구면좌표계를 쓴다면

$dA = r^2 \sin \theta d\theta d\phi\cdots(3)$

입체각의 단위는 $스테라디안, steradian$이다. 1 $steradian$에 의해 잘린 구의 면적은 라디안의 제곱과 동일하다. 구 전체를 적분하면 입체각은 $\omega = 4\pi \;steradian$ 이다.

 

(복사) 속 밀도 (Flux density, $F$)

$F$는 단위 시간 당 단위 면적을 통과하는 복사 에너지의 양을 의미한다. 단위는 $[\;W\;m^{-2}\;]$을 이용한다. 이 플럭스는 특정 구간($\lambda _1 - \lambda _2$) 내 모든 파장으로부터 온 에너지를 포함한다.

$F = \int _{\lambda _1}^{\lambda _2} F_\lambda d\lambda = \int _{\nu _1}^{\nu _2}F_\nu d\nu $

 

단색 복사 속 밀도 (monochromatic flux density, $F_\lambda$)

$F_\lambda = lim_{\Delta \lambda \to 0} \frac{F(\lambda, \lambda + \Delta \lambda)}{\Delta \lambda}\cdots (4)$

만약 지면의 한 영역을 구분한다면, 그 영역에 입사하는 햇빛의 양은 $W\;m^{-2}$로 측정할 수 있다. 이것은 태양 복사의 입사 플럭스이다. 이것은 구름이나 낮이 끝나면서 감소한다. 플럭스는 복사가 어디서 오는지는 관심이 없다. 그래서 복사를 완전히 나타내기 위해서는 플럭스 뿐만 아니라 복사가 입사한 방향도 알아야 한다. 이는 Intensity이다.

 

Intensity, $I$

특정 방향에서 입사해 그 방향에 수직인 면적을 통과하는 단위 시간 당 복사에너지. Total intensity는 주어진 범위 내의 모든 파장을 적분해 구한다 ; $\int_{\lambda _1}^{\lambda _2}I_\lambda d\lambda = \int _{\nu _1}^{\nu _2}I_\nu d\nu$.  단위는 $[\;W\;m^{-2}\;sr^{-1}\;]$이다. monochronic intensity $I_\lambda$와 복사 속 밀도 $F_\lambda$는 다음과 같은 관계에 있다.

$I_\lambda = \frac{dF}{d\omega\cos\theta}\cdots(5)$

모든 방향에서 오는 단색 복사 속을 계산하기 위해서 입체각에 대해 적분할 수 있다.

$F_\lambda = \int _{0}^{2\pi sr} I_\lambda \cos \theta d\omega = \int _0^{2\pi} d\phi \int _0^{\pi/2} I_\lambda \cos \theta \sin \theta d\phi$

 

4. 흑체 복사

흑체는 입사하는 모든 복사를 흡수한다.

플랑크 함수(The Plank Function)

경험적으로 결정된 식이다. 흑체에 의해 방출되는 intensity는 다음과 같다.

$B_\lambda = \frac{c_1 \lambda^{-5}}{\pi (e^{c_2/\lambda T}-1)}\cdots (7)$

여기서 $c_1 = 3.74\times 10^{-16}W m^2$, $c_2 = 1.45\times 10^{-2} K m$이다. 이러한 경험적 관계에 대한 이론적 정의는 양자 물리학의 발전을 이끌었다.

 

빈의 변위 법칙(Wine's Displacement Law)

식 (7)을 미분하고 그 값을 0으로 두면 흑체가 최대 복사를 방출하는 파장을 온도의 함수로 얻을 수 있다.

$\lambda _m =\frac{2897}{T} \cdots (8)$

여기서 $T$는 $K$, $\lambda _m$은 $\mu m$을 단위로 한다. 빈의 변위 법칙에 따르면 태양 복사는 가시광선 및 근적외선에 집중되어 있는 반면, 지구 복사는 주로 적외선으로 구성되어 있다는 중요한 사실을 알 수 있다. 두 곡선 사이에 겹치는 구간이 거의 없는 것은 많은 복사 전달 문제에서 태양과 지구의 복사를 분리해 다루는 것을 가능하게 한다.

 

스테판-볼츠만 법칙(Stefan-Boltzmann Law)

플랑크 함수 $\pi B_\lambda$ 를 모든 파장에 대해 적분해 얻은 복사 속 밀도.

$F = \sigma T^4 \cdots (9)$

여기서 $\sigma$는 스테판-볼츠만 상수이며 $5.67\times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}$이다.

5. 비흑체 물질의 복사 요소

입사하는 모든 복사를 흡수하는 흑체와 달리, 비흑체는 복사를 반사시키거나 투과시킬 수 있다. 비흑체의 복사 프로세스를 간단히 짚어본다. 복사의 운명은 파장에 달려있다.

 

1. 투과된 복사는 방해받지 않고 통과한 것을 의미한다. monochromatic fractional transmissivity를 다음과 같이 정의한다.

$T_\lambda = \frac{I_\lambda (transmitted)}{I_\lambda (incident)}$

 

2. 반사된 복사. 반사도는 알베도 라고 하기도 한다. 알베도는 보통 모든 파장에 대한 것이고 지구의 반사도를 의미한다. monochromatic reflectivity 를 다음과 같이 정의한다.

$R _\lambda = \frac{I_\lambda (reflected)}{I _\lambda (incident)}$

 

3. 흡수된 복사는 물체의 내부에너지를 증가시킨다. monochromatic fractional absorptivity를 다음과 같이 정의한다.

$\alpha _\lambda = \frac{I_\lambda (absorbed)}{I_\lambda (incident)}$

 

(a) 이온화-해리 상호작용. 이 상호작용에 있어서 전자는 원자 혹은 분자에 의해 분해되거나 분자가 분해된다. 이러한 상호작용은 자외선과 더 짧은 파장에서 발생한다. 파장이 $0.1\mu m$보다 짧은 모든 태양 복사는 대기 상층에서 이온화된 대기 기체에 의해 (특히 오존) 흡수된다. $0.1-0.2 \mu m$사이에서 산소 분자는 산소 원자로 분해된다. $0.2-0.3\mu m$사이의 복사는 오존에 의해 흡수된다. 이러한 밴드는 복사가 지면에 도달하는 것을 예방하고 위성 기상학에서 오존 농도를 측정하는데 있어서 중요하다.

 

(b) 전자 전환 궤도 전자는 양자화된 에너지 레벨 사이를 이동한다. 이것은 주로 자외선과 가시광선에 의해 발생한다. 오존, 산소 분자가 해당한다.

 

(c) 진동 전이 분자는 진동 에너지 상태를 변경한다. 이것은 주로 스펙트럼의 자외선 부분에서 발생하고 위성 기상학에서 매우 매우 중요하다. 스펙트럼의 적외선 영역에서 가장 중요한 흡수인자는 이산화탄소와 수증기 이다. 대칭 늘임은 분자의 대칭이 유지되기 때문에 정적 또는 동적 전기 쌍극자 모멘트가 없다. 분자에 전기 쌍극자 모멘트가 없으면 입사 복사의 전기장은 분자와 상호 작용할 수 없다. (이것은 $N_2,\;O_2$, 대기의 가장 주된 기체가 적외선에 투명한 이유이다).

 

(d) 회전 전이 분자는 회전 상태를 변경시킨다. 이들은 스펙트럼의 원적외선 및 마이크로파 부분에서 발생한다. 진동 전이와 동시에 발생할 수 있다. 그림 4.7 참고.

 

셋은 $\alpha _\lambda + R_\lambda + T_\lambda = 1$로 연관되어 있다. 흑체에 있어서 $\alpha _\lambda = 1$이다.

 

4. 또한 Monochronic Emissivity $\epsilon _\lambda$를 물체에 의해 방출된 복사의 monochromatic intensity와 흑체의 복사 간 비율로 정의할 수 있다.

$\epsilon _\lambda = \frac{I_\lambda (emitted)}{B_\lambda (T)}$

5a. 키르히호프의 법칙

어떤 물질이 방출한 복사는 오직 온도와 파장의 함수이다. 유한한 두께의 슬래브가 배치된 투과율이 0인 불투명하고 속이 비어있는 인클로저를 가정한다. 일반적으로, 이 슬랩은 입사하는 복사를 반사, 흡수, 산란시킨다. 이제 슬랩과 인클로저가 열역학적으로 평형을 이루게 할 것이다. 그리고 그것은 슬랩과 인클로저 벽이 같은 온도가 되도록 한다. 이 상타에서, 모든 방향에 대한 에너지의 흐름은 같아야 한다. 열역학적 평형에 있어서, 슬랩에 들어가는 양은 떠나는 양과 동일하거나 혹은 열의 net flow가 있거나 혹은 벽으로부터 슬랩 안쪽 혹은 바깥쪽으로 흐름이 있어야 한다. 슬랩과 벽이 열역학적 평형에 있기 때문에, 이것은 열역학 제2법칙에 위배될 것이다.

따라서, 균형 방정식은 다음과 같다:

$I_\lambda - R_\lambda I_\lambda = T_\lambda I_\lambda + E_\lambda \cdots(10)$

여기서 $E_\lambda$는 $I_\lambda$와 같은 방향으로 방출된 복사이다. 그러나 $T_\lambda I_\lambda = I_\lambda(1-\alpha _\lambda - R_\lambda)$ since $\alpha _\lambda + R_\lambda + T_\lambda = 1$. 그러므로

$I_\lambda (1-R_\lambda) = I_\lambda (1-\alpha _\lambda - R_\lambda) + E_\lambda \cdots (11)$

그래서 $E_\lambda - \alpha _\lambda I_\lambda = 0 \; $or E_\lambda = \alpha _\lambda I_\lambda$

그래서 불투명하고 속이 빈 인클로저 내부의 열평형에 있어서, 슬랩에 의해 방출된 양은 슬랩에 의해 흡수된 양과 동일하다. 이제 인클로저가 다른 것으로 대체되었다고 생각한다. 그리고 다시 같은 슬랩과 같은 온도에서 열역학 평형에 이르렀다고 하자. 결과적으로 슬랩 방출은 이전과 동일하다. 이것은 오직 온도와 파장에 의존하기 때문이다. 유사하게, 슬랩 흡수는 슬랩의 물질이 같기 때문에 변하지 않을 것이다. 그래서 다음을 알 수 있다 :

$E_\lambda = \alpha _\lambda I_\lambda '\cdots (12)$

여기서 $I_\lambda '$는 새로운 인클로저에 입사하는 복사휘도를 의미한다. 그래서 $I_\lambda = I_\lambda '$가 성립한다. 그래서 불투명하고 비어있는 인클로저 속 복사휘도는 벽이 만들어진 물질과 독립적이다. 위에서 본 방정식을 다시 쓰면 $\frac{E_\lambda}{\alpha _\lambda} = I_{\lambda b}=f(T,\lambda)$이다. $I_{\lambda b}$는 불투명하고 속이 비어있는 인클로저 속에 입사한 복사휘도이다(온도 $T$, 파장 $\lambda$).

이 결과는 키르히호프의 법칙이라고 한다. 이 법칙에 따르면 "열역학적 평형 상태 및 파장 λ에서 임의의 물질로 구성된 슬랩의 흡수율에 대한 방출율의 비율은 상수이다."

이제 방출율 $\epsilon _\lambda$ 를 파장 $\lambda$에서 같은 온도를 가진 속이 비어있는 인클로저로 방출된 방출된 복사휘도를 의미한다.

$\epsilon _\lambda = \frac{E_\lambda}{I_{\lambda b}}\cdots (13)$

이러한 정의에 근거해, $E_\lambda = \epsilon _\lambda I_{\lambda b}$임을 알 수 있다. 그러나 키르히호프의 법칙에 근거해 다음을 알 수 있다.

$\epsilon _\lambda = \alpha _\lambda \cdots (14)$

혹은 방출율은 흡수율과 동일하다 라고 할 수 있다.

키르히호프의 법칙은 복사 전달을 더 깊게 이해하기 위한 기초 지식이다. 그리고 많은 사례에 적용된다. 이 법칙이 열평형이 이뤄진 상태에서 유효하다는 사실을 기억하자. 그럼에도 불구하고 많은 대기과학 문제에서 엄격한 열평형 가정 없이도 사용된다.

이제 이 실험을 한단계 더 진행해보자. 이 슬랩을 이상적인 흑체에 놓아보자. 그 정의과 같이, 흑체는 모든 복사를 흡수한다. 속이 빈 인클로저 내부에서, 흑체 슬랩을 떠나는 복사휘도는 슬랩에 흡수된 복사휘도를 모두 유지한다. 평형 상태는 다음과 같다.

$I_{\lambda b} = E_\lambda \cdots (15)$

중요한 결론 : 속이 비어있고 열평형 상태에 있는 인클로저 내부의 임의의 방향의 복사는 같은 방향으로 방츨된 흑체의 에너지와 동일하다. 그러한 복사를 흑체 복사라고 한다. 그리고 앞서 언급했듯이 등방성, 즉 모든 방향으로 동일하다.