유체의 비점성 흐름을 다루는 미분방정식이다.
나비에 - 스토크스 방정식에서 점성과 열전도가 없는 특수한 경우에 해당한다.
오일러 방정식은 유체의 질량, 운동량 및 에너지의 보존을 나타낸다.
오일러 보존 방정식은 다음과 같다.
3차원에 대한 질량 보존(연속) 방정식
$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot (\rho u) = 0$
운동량 보존 방정식
$\frac{\partial \rho u}{\partial t}+\nabla \cdot ((\rho u)\bigotimes u)+\nabla p = 0$
에너지 보존 방정식
$\frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot (u(E+p))=0$
여기에서
$E \equiv \rho e + \rho (u^2 + v^2 + w^2)/2$는 단위 부파 당 총 에너지이다.
여기서 $e$는 유체의 단위 질량 당 내부에너지 이다.
$u$는 유동 속도이다.
$p$는 유체의 압력이다.
$\rho $는 유체의 밀도이다
두 번째 식에는 이차 텐서의 발산이 포함되어 있는데, 이 식을 아래첨자를 이용해서 쓰면 다음과 같다.
$\frac{\partial \rho u_j}{\partial t}+\frac{\partial \rho u_i u_j}{\partial x_i}+\frac{\partial p}{\partial x_j}=0$
위의 식들은 질량, 운동량 3개 성분 및 에너지의 보존을 나타낸다. 따라서 방정식은 5개이고 미지수는 6개이다. 이 문제를 닫힌 문제로 만들기 위해서는 방정식이 하나 더 필요한데, 이것이 상태방정식이라고 불리는 식이다.
일도가 일정하고, 상태 방정식이 충분히 수치해석적으로 안정적이라면 (stiff equation), 오일러 운동량 보존 방정식을 유선을 따라 적분하여 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.
또 오일러 방정식은 유체역학 적으로 매우 도움이 될 수 있다.
